Научно-технологическое развитие Российской Федерации

Математическое созвездие

В начале мая 2020 года стали известны имена десяти новых лауреатов премии Европейского математического общества, среди них - четверо наших соотечественников. Ими стали:

Карим Адипразито (Karim Adiprasito, Еврейский университет в Иерусалиме / Копенгагенский университет)

Ана Караиани (Ana Caraiani, Imperial College London)

Александр Ефимов (МИАН, Москва)

Семён Филип (Simion Filip, Чикагский университет)

Александр Логунов (Принстонский университет)

Кайса Матомяки (Kaisa Matomäki, Университет Турку)

Фан Тан Нам (Phan Thành Nam, Мюнхенский университет имени Людвига и Максимилиана)

Жоаким Серра (Joaquim Serra, Швейцарская высшая техническая школа Цюриха)

Джек Торн (Jack Thorne, Кембриджский университет)

Марина Вязовская (Maryna Viazovska, Федеральная политехническая школа Лозанны)

"Троицкий вариант"рассказывает о нескольких лауреатах из разных стран мира — о Семёне Филипе, Марине Вязовской, об Александре Логунове и Александре Ефимове. Возможно, кто-то из них станет лауреатом премии Филдса, вручение которой состоится уже через два года на Международном математическом конгрессе — 2022, который пройдет в Санкт-Петербурге.

«Я изучаю динамические системы»

Семён Филип
Семён Филип, исследователь на факультете математики Чикагского университета.

— Как вы решили прийти в математику? Были ли сомнения в выборе?

— Когда я учился во втором классе, наша учительница записала всех желающих на математический конкурс для младшеклассников, под названием «Кенгуру». Мне это занятие — обдумывать математические головоломки — очень понравилось, и к тому же я выступил приличнее, чем ожидал. В школе участие в математических олимпиадах позволило мне лучше познакомиться с предметом, и так я понял, что заниматься математикой мне интересно. Куда важнее было то, что меня окружали друзья, которые тоже интересовались математикой, информатикой или физикой; также нами руководил отличный учитель — Марчел Викторович Телеукэ.

В университете я быстро понял, что математика обширна и необъятна и сильно отличается от моих школьных представлений. Тем не менее мне было интересно учиться дальше, и опять мне повезло с хорошими руководителями. Я ходил на курсы и семинары, которые организовывал Яков Григорьевич Синай, а на последнем курсе, под руководством Марьям Мирзахани, познакомился с исследовательской работой. Тогда я решил поступить в аспирантуру. У своего научного руководителя Алекса Эскина я очень многому научился — и математике, и тому, как подходить к исследовательским задачам.

Были ли сомнения? Конечно. Например, в школьные годы мне была очень интересна информатика, и какое-то время в университете я рассматривал ее как возможное направление работы. Мне кажется, что на разных этапах наличие активной группы людей, которые интересовались математикой и с которыми мне было интересно проводить время, сыграло важную роль в том, что я продолжал заниматься математикой. Конечно, работать приходится очень долго одному, но потом всегда хочется с кем-то поделиться мыслями, и приятно, когда кому-то другому это тоже интересно.

— Как бы вы описали область ваших математических интересов?

— Я изучаю динамические системы. Общая цель работ в этой области — понять, как себя ведут системы, которые, следуя некоторому закону, меняются со временем. Сами системы и законы могут прийти откуда угодно, например из физики, биологии или экономики. Круг вопросов, которые можно изучать строгими математическими методами, очень ограничен. Например, мы не можем сделать прогноз погоды на 20 дней вперед и, наверное, никогда не сможем, вне зависимости от прогресса в компьютерах.

Замечу, что само понимание того, почему такие предсказания невозможны, есть результат математических исследований, которые, в свою очередь, указали на более осмысленные вопросы и методы изучения динамических систем. Оказалось, что многие динамические системы связаны неожиданным образом с другими разделами математики, такими как алгебраическая геометрия и теория чисел. Пример динамической системы, которая моделирует элементарные физические явления и очень интересна математикам, — это движение бильярдного шара на столе необычной формы — как, например, пятиугольник или многоугольник в форме латинской буквы L.

Траектории бильярдных шаров в столах необычной формы. Рис. С. Филипа
Траектории бильярдных шаров в столах необычной формы. Рис. С. Филипа

Некоторые мои работы связаны с изучением таких систем или, точнее, пространства всех систем такого типа.

— Не могли бы вы в научно-популярном формате (нас читают не только физики, но и филологи) описать тот результат, который был отмечен премией Европейского математического общества?

— Рискуя расстроить математиков и запутать всех остальных читателей, я попробую. Вспомните об окружностях на плоскости, которые проходили в школе. Точки на окружности можно описать через угол, а можно — спроектировав окружность на прямую. Это принципиально разные описания одного и того же объекта. Обобщение этих двух методов на более сложные фигуры и в более высоких размерностях породило два разных подхода к геометрии, которые называются алгебраической и аналитической геометрией. Некоторые задачи легче решить с помощью одного подхода, некоторые — с помощью другого, а иногда между этими подходами есть интересная связь. Например, если вы разделите окружность на 17 равных кусков, как торт, то это легко описать углами, но, оказывается, очень интересно описать это через проекцию на прямую. (Почему 17? Надеюсь, что ваши читатели найдут в Интернете ответ на этот вопрос.)

Как я говорил выше, моя работа связана с динамическими системами на поверхностях. Гео­метрия поверхности, а также геометрия пространства всех поверхностей заданного типа могут быть описаны весьма разными способами, похожими на то, как я описал окружность выше. Суть моей работы была в доказательстве связи между двумя способами описания поверхности, а также в исследовании того, как это описание влияет на динамические системы на этой поверхности.

«Мои любимые задачи — об оптимальных конфигурациях в метрических пространствах»

Марина Вязовская
Марина Вязовская, выпускница Киевского университета, профессор Федеральной политехнической школы в Лозанне (Швейцария).

— Как вы решили прийти в математику? Были ли сомнения в выборе?

— Мой путь в математику был довольно обычным и неинтересным. Математика была моим любимым предметом начиная с младших классов. Мне нравилась строгость и простота математических законов, позволяющих самостоятельно находить ответы на сложные и неочевидные вопросы. В старших классах я перешла из обычной школы в физико-математический лицей. Атмосфера физмат-школы, дух соревнования и огромная поддержка учителей сделали мое решение дальше изучать математику простым и естественным.

Сомнения в том, какую профессию выбрать, возникли в конце четвертого курса, когда пришло время искать работу. Но как раз в это время я получила свой первый научный результат и увидела, что доказывать собственные теоремы намного интереснее, чем изучать уже готовые теории или решать искусственно придуманные олимпиадные задачи. Я поняла, что ни в какой другой профессии мне не будет так интересно.

— Как бы вы описали область ваших математических интересов?

— Я занимаюсь теорией чисел. Теория чисел нравится мне тем, что очень трудно придумать математическую задачу, которая не была бы с ней связана. Мы не знаем, какие методы понадобятся математикам, чтобы решить гипотезу Римана, Бёрча — Свиннертон-Дайера или АВС-гипотезу. Конечно, нельзя объять необъятное, и мои любимые задачи — это задачи об оптимальных конфигурациях в метрических пространствах.

— Не могли бы вы в научно-популярном формате (нас читают не только физики, но и филологи) описать тот результат, который был отмечен премией Европейского математического общества?

— Мне присудили премию за решение одной из таких задач — задачи о плотнейшей упаковке шаров в пространствах размерности 8 и 24. В этой задаче ставится вопрос, какое наибольшее количество шаров радиуса 1 может уместиться в большой (очень широкой, длинной и высокой) коробке. Если все размеры коробки достаточно велики по сравнению с шарами, то это количество будет в основном зависеть от объема коробки и мало зависеть от ее формы, а отношение максимального количества шаров к объему будет стремиться к некоторому постоянному числу, оптимальной плотности.

Задача об оптимальной упаковке в размерности 3, известная как задача Кеплера, была решена в 1998 году Томасом Хейлсом. И такая история очень типична в теории чисел, когда «безобидный» и даже наивный вопрос ждет своего решения несколько столетий. Оптимальные конфигурации, достигающие максимальной плотности, были известны Кеплеру и его современникам, но математическое доказательство их оптимальности стало возможно лишь в наше время благодаря развитию теоретических знаний и вычислительной техники.

Мне удалось решить аналогичную задачу в размерностях 8 и 24. В этом случае оптимальные конфигурации тоже были известны, и весь «фокус» был в том, чтобы доказать оптимальность.

«Я занимаюсь нодальной геометрией»

Александр Логунов

Александр Логунов, Assistant professor Принстонского университета (США).

— Как вы решили прий­ти в математику? Были ли сомнения в выборе?

— Будучи школьником 12 лет, я случайно попал в замечательный математический кружок при физико-математическом лицее № 239 Санкт-Петербурга, который сыг­рал огромную роль в моем образовании. Я до сих пор поддерживаю контакт с этой крайне успешной системой кружков и олимпиад. На первом курсе я получил разрешение учиться одновременно на двух направлениях: математика и экономика. Через две недели после начала занятий мне стало очевидно, что мое, а что нет.

— Как бы вы описали область ваших математических интересов?

— Анализ (наука о неравенствах), геометрия, математическая физика.

— Не могли бы вы в научно-популярном формате (нас читают не только физики, но и филологи) описать тот результат, который был отмечен премией Европейского математического общества?

— В представлении к премии нигде об этом не говорится. Последние пять лет я занимаюсь нодальной геометрией.

Термин «нодальные множества» придумали физики для обозначения удивительных линий, отчетливо видных, например, в эксперименте Хладни, в котором по металлической пластинке проводят смычком, и она резонирует.

На нодальные множества обратили внимание независимо друг от друга такие физики, как Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, Роберт Гук, а систематически изучал и описал их Эрнст Хладни. Наполеон был так впечатлен резонансным экспериментом Хладни, что предложил Французской академии наук назначить премию за лучшее математическое объяснение этого эксперимента. После назначения премии французские физики и математики годами спорили, каким же уравнением описываются нодальные множества.

Знак случайной сферической гармоники

Знак случайной сферической гармоники
Распределение значений случайной сферической гармоники

Распределение значений случайной сферической гармоники
Критические точки решения уравнения Гельмгольца

Критические точки решения уравнения Гельмгольца
Нодальная кривая из диссертации А. Стерн

Нодальная кривая из диссертации А. Стерн

В 1816 году премию получила Софи Жермен (Marie-Sophie Germain, 1776–1831). Благодаря ей мы знаем, что нодальные множества — это нули решений эллиптических уравнений, которые математики изучают и пытаются объяснить на абстрактном уровне. Про нодальные множества можно легко придумывать математические вопросы — надо просто смотреть на картинки, которые сделали физики, и пытаться доказать или опровергнуть то, что глазами видно. Самый известный вопрос — это гипотеза Яу (в честь Яу Шинтуна), которая говорит, как связана длина нодальных линий с частотой.

«Уже на первых курсах заинтересовался алгебраической геометрией и гомологической алгеброй»

Александр Ефимов
Александр Ефимов, канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ-ВШЭ.

- Я увлекался математикой с детства: участвовал в олимпиадах, читал книги по разным областям науки, в том числе брошюры издательства МЦНМО. Серьезно начал заниматься математикой примерно с восьмого класса, когда поступил в 57-ю школу и сделал выбор между математикой и шахматами в пользу математики (в шахматах остановился на уровне КМС). Учась в школе, побеждал в различных олимпиадах, в том числе всероссийских, всеболгарской и всекитайской.

Окончил школу в 2005 году, поступил на мехмат МГУ и в Независимый московский университет. На первых курсах университета заинтересовался алгебраической геометрией и гомологической алгеброй. Довольно быстро увлекся разными интересными задачами, связанными с триангулированными категориями и эквивалентностями между ними, и пытался их решить. Первый существенный результат получил на четвертом курсе: доказал гомологическую зеркальную симметрию для кривых рода начиная с 3, используя идеи доказательства П. Зайделя для кривой рода 2. Затем стал заниматься разными вопросами, связанными с гомологической зеркальной симметрией, инвариантами Дональдсона — Томаса колчанов с потенциалом, кластерными алгебрами и различными задачами, связанными с дифференциально-градуированными категориями и их инвариантами.

Доказал несколько гипотез Концевича и Сойбельмана, в том числе о структуре когомологической алгебры Холла, а также о гомотопической конечности производных категорий когерентных пучков. Также недавно опроверг две гипотезы Концевича, связанные с обобщенными версиями вырождения спектральной последовательности от когомологий Ходжа к когомологиям де Рама для дифференциально-градуированных категорий.

Работаю в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН с 2010 года, а также на математическом факультете ВШЭ, в лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений (2010–2016), лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм (с 2017-го по настоящее время). Также в 2013–2014 годах работал в качестве Newton Research Fellow в Университете Варвика (Великобритания).

В настоящий момент занимаюсь различными вопросами, связанными с придуманной мной версией K-теории для определенного класса «больших» триангулированных категорий (наивная K-теория для них равна нулю). Это новое понятие K-теории, в частности, оказалось полезно в неожиданном для меня контексте: его использовали Д. Клаузен и П. Шольце для определения K-теории адических пространств.

Подписка на новости и события
Введите ваш email